Совершенный кубоид — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, диагонали его граней и диагональ самого параллелепипеда) являются натуральными числами. Иначе говоря, совершенный кубоид — решение системы следующих диофантовых уравнений в натуральных числах:

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\b^{2}+c^{2}=f^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{cases}}}$

До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. По состоянию на 2020 год компьютерный перебор не нашёл ни одного совершенного кубоида с рёбрами до 2,5·10¹³. Впрочем, найдено несколько «почти совершенных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:

• ${\displaystyle (672,153,104)}$ — одна из диагоналей грани нецелая.
• ${\displaystyle (18\,720,{\sqrt {211\,773\,121}},7800)}$, ${\displaystyle (520,576,{\sqrt {618\,849}})}$ — одно из рёбер нецелое.
• Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
• Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла.

С сентября 2017 года поиском совершенного кубоида начал заниматься проект распределённых вычислений yoyo@home.